喝前摇一摇,考前背一背


本文宗旨

​ 距离24考研接近100天,各位150分的苗子应该已经逐渐完成强化阶段,进入真题和模拟题的训练当中👏。笔者在套卷练习的过程中,发现很多题目虽然能给出一套做题思路,但需要开卷查看已有结论,尤其是数学一概率论部分😭,比如利用方差或样本方差判断分布的四条公式,还有各种概率分布和样本分布的方差均值,每次笔者自己做到套卷最后两道选择题时都不得不翻书,更为明显的例子是计算一阶微分方程y+P(x)y=Q(x)y'+P(x)y=Q(x)时,强化阶段可以以锻练基本功为由每次遇到都手。在这个阶段除了保证每周两到三张套卷来维持手感的情况下,希望能和观看帖子的诸位一起补充完成这份喝前摇一摇,考前背一背清单,笔者归纳能力有限,也难以避免会出现一些“fat finger”的情况希望能够理解。如有修正或者补充乃至对网站维护的建议,欢迎通过邮件或者issue向我提出。条件允许的话也请为我的仓库点个star,感激不尽!

祝大家全部上岸!

高等数学


中值定理

  • 罗尔定理

    f(x)f(x)[a,b][a,b]上连续,若 f(a)=f(b)f(a) = f(b) ,则ξ(a,b),f(ξ)=0\exist \xi \in(a,b),f'(\xi) = 0

  • 拉格朗日中值定理

    f(x)f(x)[a,b][a,b]上连续,则ξ(a,b)\exist \xi \in(a,b),有f(b)f(a)ba=f(ξ)\frac{f(b)-f(a)}{b-a} = f'(\xi)

    出现ffff'的关系时多考虑,只有一个ff时找f(x)=0f(x) = 0

  • 柯西中值定理

    f(x)f(x),g(x)g(x)[a,b][a,b]上连续,则ξ(a,b)\exist \xi \in(a,b),有f(b)f(a)g(b)g(a)=f(ξ)g(ξ)\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)} = \frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}

    一般ffgg一个具体一个抽象

  • 泰勒公式

    这个都要来查的建议先复习到两点😡

    🌟在出现ffff''的时候重点考虑

常见积分

不定积分

tanxdx=lncotx+c \int \tan x dx = -ln|\cot x|+c
dxcosx=ln1cosx+tanx+c \int \frac{dx}{\cos x} = ln|\frac{1}{\cos x}+\tan x|+c
dxsinx=ln1sinxtanx+c \int \frac{dx}{\sin x} = ln|\frac{1}{\sin x}-\tan x|+c
dxx2+a2=lnx+x2+a2+c \int \frac{dx}{\sqrt{x^2+a^2}} = ln|x+\sqrt{x^2+a^2}|+c
dxx2a2=lnx+x2a2+c \int \frac{dx}{\sqrt{x^2-a^2}} = ln|x+\sqrt{x^2-a^2}|+c
dxx2a2=12alnxax+a+c \int \frac{dx}{x^2-a^2} = \frac{1}{2a}ln|\frac{x-a}{x+a}|+c
tan2xdx=tanxx+c \int \tan^2 x dx = \tan x -x+c
cot2xdx=cotxx+c \int \cot^2 x dx = -\cot x-x +c

简单的二次曲面(记名字)

  1. 单叶双曲面
    x2a2+y2b2z2c2=1\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2} = 1
  2. 双叶双曲面
    x2a2+y2b2z2c2=1\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2} = -1

    以上统称旋转双曲面

  3. 椭圆抛物面
    x2a2+y2b2=cz\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2} = cz
  4. 双曲抛物面(马鞍面)
    x2a2y2b2=cz\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2} = cz

空间几何

曲面的法向量:

曲面:F(x,y,z)=0F(x,y,z) = 0,法向量: λ=(Fx,Fy,Fz)\vec{\lambda} = (F'_x,F'_y,F'_z)

曲线的切向量:

曲面的交线:

微分方程

一阶非齐次线性微分方程 y+P(x)y=Q(x)y'+P(x)y=Q(x)

y=(q(x)ep(x)dx+c)ep(x)dxy = ( \int q(x)e^{\int p(x) dx}+c )e^{-\int p(x) dx}

曲线与曲面积分

Jacobi行列值

第一型曲线积分(“一投,二代,三计算”)

第二形曲线积分

  1. 一投,二代,三计算
  1. 斯托克斯公式(封闭无奇点)

    可以同旋度公式一起记

第一型曲面积分

第二型曲面积分(别总是无脑上高斯)

ΣPdydz+Qdzdx+Rdxdy\small \iint_\Sigma Pdydz+Qdzdx+Rdxdy
  1. 直接投影
    S1Pdydz+S2Qdzdx+S3Rdxdy\tiny \iint_{S_1}Pdydz+\iint_{S_2}Qdzdx+\iint_{S_3}Rdxdy
  2. 转换投影
    Dxy[P(zx)+Q(zy)+R]dxdy\footnotesize \iint_{D_{xy}}[P(-\frac{\partial z}{\partial x})+Q(-\frac{\partial z}{\partial y})+R]dxdy
  3. 高斯公式(建议最后再考虑)
    V(Px+Qy+Rz)dxdydz\small \iiint_V(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z})dxdydz

概率论与数理统计

正态总体下的常用结论

  1. 正态分布

    XN(μ,σ2n)\overline{X}\sim N(\mu,\frac{\sigma^2}{n})
  2. 已知期望和方差下的总体分布

    1σ2i=1n(Xiμ)2X2(n)\frac{1}{\sigma^2}\sum\limits_{i=1}^{n}(X_i-\mu)^2\sim \mathcal{X}^2(n)
  3. 未知期望已知方差下的总体分布

  4. 未知方差已知期望下的总体分布

线性代数

有关行列式的重要公式

若A是可逆矩阵,则有

矩阵的秩

左乘列满秩右乘行满秩不改变秩,初等变换不改变秩


⌛️ Last Modified: 07:49:26 17 May 2024 UTC