Foreword
不同的几何研究不同变换群下的不变量,在工程和医疗领域,常用的几何包括拓扑 (topology)、共形几何(conformal geometry)、Riemann 几何(Riemannian geometry) 和曲面微分几何 (surface differential geometry),其对应的变换群为拓扑变换群、共形变换群、等距变换群和曲面在欧氏空间中的刚体变换群,这些变换群构成了嵌套子群序列。
刚体变换群◁等距变换群◁共形变换群◁拓扑同胚群.
不同变换群下的不变量也可视作不同的结构,这些结构彼此构成层次关系。以嵌入三维欧氏空间中的曲面为例,曲面具有拓扑结构、共形结构、 Riemann 度量结构和嵌入结构.后面的结构以前面的结构为基础,内涵逐步丰富。
-
拓扑结构
一个曲面可以连续变形成另一个曲面,不发生撕破或粘连,即表示拓扑等价
-
共形结构
一个曲面可以通过保持角度不变的变换变形成另一个曲面,即表示共形等价
-
Riemann 度量结构
一个曲面可以通过保持长度不变的变换变形成另一个曲面,即表示等距等价
Algebraic topology
Fundamental Group and Covering Space
定义
-
路径
一个路径是一个连续映射 f:[0,1]→X,其中 X 是一个拓扑空间,f(0) 是路径的起点,f(1) 是路径的终点。
-
同伦
两个路径 f,g:[0,1]→X 是同伦的,如果存在一个连续映射 H:[0,1]×[0,1]→X,使得 H(0,t)=f(t) 和 H(1,t)=g(t) 对所有 t∈[0,1] 成立。这个连续映射 H 被称为 f 和 g 之间的同伦。
-
同伦类
一个路径 f:[0,1]→X 的同伦类是所有与 f 同伦的路径的集合。
-
环路
一个环路是一个路径 f:[0,1]→X,使得 f(0)=f(1)。
-
环路乘积
两个环路 f:[0,1]→X 和 g:[0,1]→X 的环路乘积 f⋅g 是一个路径,定义为
(f⋅g)(t)={f(2t),g(2t−1),0≤t≤21,21≤t≤1.
-
环路的逆
一个环路 f:[0,1]→X 的逆环路 f−1 是一个路径,定义为 f−1(t)=f(1−t)。
-
基本群
一个拓扑空间 X 的基本群 π1(X) 是所有 X 中的环路的同伦类的集合,关于环路乘积的同伦类的群。
-
覆叠空间
一个拓扑空间 Y 是另一个拓扑空间 X 的覆叠空间,如果存在一个连续映射 p:Y→X,使得对于 X 中的每一个点 x,存在一个开集 U 包含 x,使得 p−1(U) 是 Y 中的一些不相交的开集的并,每一个这样的开集 p−1(U) 被称为 Y 中的一个片。
Fundamental Group
词群表示
词群:用来表示拓扑空间同伦群的方式
给定一组“字母”,由字母组成词,字母是词的生成元,词是字母构成的序列,用{g1,g2,⋯,gn}表示生成元,用g1±1,g2±1,⋯,gn±1表示生成元的逆元,用g1m1g2m2⋯gnmn表示词,其中m1,m2,⋯,mn是整数。
基本群的典范表示
基本群的生成元:{a1,b1,a2,b2,⋯,ag,bg}
满足以下条件:
⎩⎨⎧aibj=δij,aiai=0,bibi=0
⌛️ Last Modified: 07:49:26 17 May 2024 UTC