computational conformal geography


Foreword

不同的几何研究不同变换群下的不变量,在工程和医疗领域,常用的几何包括拓扑 (topology)、共形几何(conformal geometry)、Riemann 几何(Riemannian geometry) 和曲面微分几何 (surface differential geometry),其对应的变换群为拓扑变换群、共形变换群、等距变换群和曲面在欧氏空间中的刚体变换群,这些变换群构成了嵌套子群序列。

刚体变换群◁等距变换群◁共形变换群◁拓扑同胚群.

不同变换群下的不变量也可视作不同的结构,这些结构彼此构成层次关系。以嵌入三维欧氏空间中的曲面为例,曲面具有拓扑结构、共形结构、 Riemann 度量结构和嵌入结构.后面的结构以前面的结构为基础,内涵逐步丰富。

  • 拓扑结构

    一个曲面可以连续变形成另一个曲面,不发生撕破或粘连,即表示拓扑等价

  • 共形结构

    一个曲面可以通过保持角度不变的变换变形成另一个曲面,即表示共形等价

  • Riemann 度量结构

    一个曲面可以通过保持长度不变的变换变形成另一个曲面,即表示等距等价

Algebraic topology

Fundamental Group and Covering Space

定义

  • 路径

    一个路径是一个连续映射 f:[0,1]Xf: [0,1] \to X,其中 XX 是一个拓扑空间,f(0)f(0) 是路径的起点,f(1)f(1) 是路径的终点。

  • 同伦

    两个路径 f,g:[0,1]Xf,g: [0,1] \to X 是同伦的,如果存在一个连续映射 H:[0,1]×[0,1]XH: [0,1] \times [0,1] \to X,使得 H(0,t)=f(t)H(0,t) = f(t)H(1,t)=g(t)H(1,t) = g(t) 对所有 t[0,1]t \in [0,1] 成立。这个连续映射 HH 被称为 ffgg 之间的同伦。

  • 同伦类

    一个路径 f:[0,1]Xf: [0,1] \to X 的同伦类是所有与 ff 同伦的路径的集合。

  • 环路

    一个环路是一个路径 f:[0,1]Xf: [0,1] \to X,使得 f(0)=f(1)f(0) = f(1)

  • 环路乘积

    两个环路 f:[0,1]Xf: [0,1] \to Xg:[0,1]Xg: [0,1] \to X 的环路乘积 fgf \cdot g 是一个路径,定义为

    (fg)(t)={f(2t),0t12,g(2t1),12t1.(f \cdot g)(t) = \begin{cases} f(2t), & 0 \le t \le \frac{1}{2}, \\ g(2t-1), & \frac{1}{2} \le t \le 1. \end{cases}
  • 环路的逆

    一个环路 f:[0,1]Xf: [0,1] \to X 的逆环路 f1f^{-1} 是一个路径,定义为 f1(t)=f(1t)f^{-1}(t) = f(1-t)

  • 基本群

    一个拓扑空间 XX 的基本群 π1(X)\pi_1(X) 是所有 XX 中的环路的同伦类的集合,关于环路乘积的同伦类的群。

  • 覆叠空间

    一个拓扑空间 YY 是另一个拓扑空间 XX 的覆叠空间,如果存在一个连续映射 p:YXp: Y \to X,使得对于 XX 中的每一个点 xx,存在一个开集 UU 包含 xx,使得 p1(U)p^{-1}(U)YY 中的一些不相交的开集的并,每一个这样的开集 p1(U)p^{-1}(U) 被称为 YY 中的一个片。

Fundamental Group

词群表示

词群:用来表示拓扑空间同伦群的方式

给定一组“字母”,由字母组成词,字母是词的生成元,词是字母构成的序列,用{g1,g2,,gn}\{g_1, g_2, \cdots, g_n\}表示生成元,用g1±1,g2±1,,gn±1g_1^{\pm 1}, g_2^{\pm 1}, \cdots, g_n^{\pm 1}表示生成元的逆元,用g1m1g2m2gnmng_1^{m_1} g_2^{m_2} \cdots g_n^{m_n}表示词,其中m1,m2,,mnm_1, m_2, \cdots, m_n是整数。

基本群的典范表示

基本群的生成元:{a1,b1,a2,b2,,ag,bg}\{a_1,b_1,a_2,b_2,\cdots,a_g,b_g\}

满足以下条件: {aibj=δij,aiai=0,bibi=0 \begin{cases} a_i b_j = \delta_i^j, \\ a_i a_i = 0 ,\\ b_i b_i = 0 \end{cases}


⌛️ Last Modified: 07:49:26 17 May 2024 UTC